Раньше закон гарантировал работнику право на 3 дня неоплачиваемого отпуска по болезни в течение года. При этом предъявлять больничный не требовалось. Но сейчас это положение не действует. Если вы не хотите обращаться к врачу, то можете попросить отпуск за свой счет. Но работодатель будет по своему усмотрению решать, предоставить его или нет.
Но все-таки советуем оформлять листок нетрудоспособности. По нему за период болезни выплатят пособие. А если не станете оформлять бюллетень и возьмете неоплачиваемый отпуск, болеть придется за свой счет.